В плоском конденсаторе диэлектрик между пластинами промок

Две плоские пластины, расположенные параллельно друг другу и разделенные диэлектриком, составляют плоский конденсатор. Это самый простой представитель конденсаторов, которые предназначены для накопления разноименной энергии. Если пластинам сообщить заряд, равный по величине, но разный по модулю, то поля между проводниками увеличится вдвое. Отношение заряда одного из проводников к напряжению между пластинами конденсатора называют электроемкостью:

Если расположение пластин будет неизменным, то можно считать константой при любом заряде проводников. В международной системе измерений единица электроемкости - Фарад (Ф). Плоский конденсатор имеет напряженность, равную сумме напряженностей, создаваемых проводниками (E 1 +E 2 ...+ E n ). Величины векторные. Значение электроемкости прямо пропорционально площади пластин и обратно пропорционально расстоянию между ними. Это значит, что, дабы увеличить электроемкость конденсатора, необходимо сделать площадь пластин больше, при этом уменьшив расстояние между ними. В зависимости от используемого диэлектрика, плоский конденсатор может быть:

Бумажным.
Слюдяным.
Полистирольным.
Керамическим.
Воздушным.

Принцип устройства рассмотрим на примере бумажного конденсатора. Бумага, обработанная парафином, используется в данном случае в качестве диэлектрика. Прокладывается диэлектрик между двумя полосами фольги, которые выполняют роль проводников. Вся конструкция сворачивается в рулон, в который вставляются выводы для подключения к Данная модель помещается в керамический или металлический корпус. Плоский воздушный конденсатор и другие виды накопителей заряда представляют собой подобную конструкцию, только в качестве диэлектрической среды используются материалы, в честь которых назван сам конденсатор. При решении задач, в которых необходимо найти искомые величины, не забывайте использовать величину, характеризующую диэлектрик, - диэлектрическую проницаемость среды.

В радиотехнике используются жидкие и сухие Жидкостные конденсаторы представляют собой в который помещена алюминиевая оксидированная пластина. Находится данная субстанция в металлическом корпусе. В качестве электролита используется раствор борной кислоты и некоторые другие смеси. Сухой вид накопителей выполнен посредством сворачивания трех лент, одна из которых алюминиевая, другая - металлическая, а между ними - марлевый слой, пропитанный вязким электролитом. Рулон помещен в алюминиевый корпус и залит битумом. Плоский конденсатор имеет широкую область применения и невысокую стоимость. К сожалению, данные модели не заменят нам аккумуляторных батарей, ведь энергия плоского конденсатора очень мала, и заряд очень быстро "утекает". Они не подходят в качестве источников электричества, но обладают одним преимуществом - при зарядке через цепь малого сопротивления мгновенно отдают накопленную энергию.

(примеры решения задач)

Уединенный проводник

Пример 7.1.

Найдите емкость шарового проводника радиуса R 1 , окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем диэлектрика проницаемости  и наружного радиуса R 2 .

Решение .

Способ 1 . Сообщим проводнику заряди найдем напряженность электрического поля в окружающем пространстве. Величина поля электрического смещения равна

для

, поэтому:

Напряжение проводника представим следующим выражением:

Величину емкости получим по определению из выражения:

Способ 2. Проводящий шар, окруженный диэлектриком, рассмотрим как систему последовательно соединенных сферических конденсаторов (см. рисунок). Используя результат упражнения 7.4, для величин емкостей получим:,

. Емкость всей системы определится выражением

которое, конечно же, совпадает с результатом, полученным в 1 способе.

Плоский конденсатор

Пример 7.2.

Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния x до одной из обкладок по закону

, где 1 - постоянная, d - расстояние между обкладками. Площадь каждой обкладки S . Найдите емкость конденсатора.

Решение.

Представим конденсатор, заполненный неоднородным диэлектриком, как бесконечную систему последовательно соединенных элементарных конденсаторов, емкость которых равна

. Емкость всей системы определится выражением:

Из которого получим:

Сферический конденсатор

Пример 7.3.

Найдите емкость сферического конденсатора, радиусы обкладок которого a и b , причем a < b r до центра конденсатора как

, где

.

Решение.

Способ 1.

Как и в предыдущем примере, сферический конденсатор с неоднородным, но сферически симметричным распределением диэлектрика можно представить как систему последовательно соединенных элементарных сферических конденсаторов с емкостями

и найти емкость системы как

.

Способ 2.

Величина поля электрического смещения при этом будет равна

, а напряженность этого поля определится выражениемВеличина напряжения, при этом, будет равна, а величина емкости.

Цилиндрический конденсатор

Пример 7.4.

Найдите емкость цилиндрического конденсатора длины l , радиусы обкладок которого a и b , причем a < b , если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния r до оси конденсатора как

, где

.

Решение . Представим цилиндрический конденсатор, как последовательно соединенные элементарные конденсаторы с емкостью

. Величина емкости всей системы элементарных конденсаторов найдется из соотношения

Отсюда окончательно получим ответ:

Пример 7.5.

Цилиндрический конденсатор имеет диаметр внешней обкладки .Каким должен быть диаметр внутренней обкладки, чтобы при заданном напряжении на конденсаторенапряженность электрического поля на внутренней обкладке

была минимальной?

Решение . Величину напряженности электрического поля на внутренней обкладке

найдем из следующих соотношений. Подстановка величины емкости цилиндрического конденсатора (см. упражнение 7.5), приводит к выражению:

Для нахождения экстремума найдем производную знаменателя (т.к. величина числителя имеет фиксированное значение)

Приравнивая ее нулю, найдем

. В том, что это соответствует минимуму

, можно убедиться, взяв вторую производную и определив ее знак при

.

Соединение конденсаторов

Пример 7.6.

Четыре конденсатора с емкостями

исоединены так, как показано на рисунке. Какому соотношению должны удовлетворять емкости конденсаторов, чтобы разность потенциалов между точкамиибыла равна нулю?

Решение. Так как на последовательно соединенных конденсаторах 1 и 2 заряд одинаков, то выполняется соотношение

Аналогичное соотношение должно выполняться для конденсаторов 3 и 4:

Для того, чтобы между точками иотсутствовала разность потенциалов, необходимо, чтобы осуществлялись равенства

и

. Разделив почленно соотношения выражающие равенства зарядов и сокращая на равные разности потенциалов, получим

Взаимная емкость

Пример 7.7.

Очень далеко друг от друга находятся два проводника. Емкость одного из них C 1 , его заряд Q 1 . Емкость второго проводника C 2 , заряд Q 2 . Первоначально незаряженный конденсатор емкостью С подключают тонкими проводами к этим проводникам. Найдите заряд q конденсатора C .

Р

ешение. После подключения конденсатора и установления электростатического равновесия заряды и потенциалы проводников и обкладок конденсатора будут такими как показано на рисунке. Потенциалы удаленных проводников будут связаны с зарядами на них соотношениями:

,

. Для напряжения на конденсаторе запишем соотношение:

из которого величина заряда конденсатора может получена алгебраически и представлена в виде.

ЗАДАЧА 1. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено без зазора двумя слоями диэлектриков, параллельными пластинам. Первый слой – фарфор толщиной d 1 = 2 мм, второй – эбонит толщиной
d 2 = 1,5 мм. Определить емкость C такого конденсатора, если площадь пластин S = 100 см 2 .

АНАЛИЗ. Для решения задачи представим конденсатор с диэлектриками как два последовательно соединенных конденсатора. Напряжение на конденсаторе равно U = U 1 +U 2 , где U 1 и U 2 – напряженияна слоях диэлектрика. Чтобы найти емкость конденсатора С , необходимо знать U 1 и U 2 . Для этого следует воспользоваться связью напряженности и потенциала и условиями на границе раздела двух диэлектриков, а также учесть, что нормальная составляющая вектора смещения при переходе через границу не меняется.

РЕШЕНИЕ. Емкость конденсатора равна C = q /U = q /(U 1 +U 2), (2.3.1)

где q – заряд пластины (рис. 2.3.1).

Поле внутри конденсатора однородно, поэтому связь напряженности и потенциала дает

U 1 = E 1 d 1 , U 2 = E 2 d 2 ; поэтому .

Вектор напряженности связан с вектором электрического смещения соотношением или .

Поскольку

Где – поверхностная плотность заряда, получаем

Проверим размерность: .

Подставив значения, получаем:

ОТВЕТ: С = 98,3 пФ.

ЗАДАЧА 2. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости (C 1 = C 2) соединены в батарею последовательно и подключены к источнику тока с электродвижущей силой . Как изменится разность потенциалов U 1 на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = 7 (рис. 2.3.2)?

AНАЛИЗ. До заполнения второго конденсатора диэлектриком разность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинакова

После заполнения источник тока не отключался, поэтому общая разность потенциалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспределилась между конденсаторами. Учитывая, что емкость второго конденсатора увеличилась в e раз, можно найти новую разность потенциалов на первом конденсаторе .

РЕШЕНИЕ. После заполнения диэлектриком разности потенциалов на конденсаторах стали равны

, (2.3.2.)

где q – заряд обкладки конденсатора,q ¹q 0 , электроемкость первого конденсатора не изменилась, C 1 ¢ = C 1 = C.

Поскольку при последовательном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей батарее одинаков, то , где

тогда (2.3.3)

Подставив (2.3.3) в (2.3.2), получим

Искомое отношение равно

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА 3. Радиус центральной жилы коаксиального кабеля 1,5 см, радиус оболочки 3,5 см. Между центральной жилой и оболочкой приложена разность потенциалов 2300 В. Вычислить напряженность электрического поля на расстоянии 2 см от оси кабеля.

АНАЛИЗ. Кабель можно уподобить цилиндрическому конденсатору. Электрическое поле создается только центральной жилой. Напряженность этого поля следует определять как напряженность поля бесконечной заряженной нити.

РЕШЕНИЕ. Напряженность поля кабеля равна

.(2.3.4)

Кабель заряжен равномерно, поэтому t= q / .

Заряд можно определить, если известна емкость конденсатора C , q = CU 0, тогда t= CU 0 / . (2.3.5)

Известно, что емкость цилиндрического конденсатора определяется по формуле: (2.3.6)

Используя выражения (2.3.5) и (2.3.6) получаем . (2.3.7)

Подставим (2.3.7) в равенство (2.3.4):

Правильность формулы по размерности очевидна. Подставив значения, получаем

ЗАДАЧА 4. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластины S = 500 см 2 , подключен к источнику тока, ЭДС которогоξ = 300 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от расстоянияd 1 = 1 см доd 2 = 3 см в двух случаях: а) пластины перед раздвижением отключаются от источника тока; б) пластины в процессе раздвижения остаются подключенными к нему.

АНАЛИЗ. В первом случае систему двух заряженных и отключенных от источника тока пластин можно рассматривать как изолированную систему, по отношению к которой справедлив закон сохранения энергии. В этом случае работа внешних сил равна изменению энергии системы , где W 2 – энергия поля конденсатора в конечном состоянии (с расстоянием между пластинамиd 2), W 1 – энергия поля конденсатора в начальном состоянии(d = d 1).

Во втором случае пластины остаются подключенными к источнику тока, и система двух пластин уже не является изолированной (заряд пластин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи). Разность потенциалов при раздвижении пластин остается неизменной U = ξ. В этом случае причем U = const ,а C меняется. Емкость плоского конденсатора C = e 0 S /d будет уменьшаться, следовательно, будет уменьшаться заряд на пластинах, q = CU , и напряженность поля конденсатора E = U/d .